微分基本定理的数学意义

Balthild @

注一:本文说的不是微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)。

注二:拉格朗日中值定理有时也被称为微分基本定理,但本文说的也不是它。

在高等数学中,有这样一条定理:

微分基本定理: 若函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可微,则有

$$ \mathrm{d}y = f' \mathrm{d}x $$

很容易看出,正是因为这个定理,导数 $f'(x)$ 可以写成微商的形式 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$,并且 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$ 可以拆开来到处移。但要冠以微分基本定理的名号,这个理由恐怕不太充分。在学了泰勒级数后,还能发现这个定理在形式上就是泰勒展开式的第一项,但这同样说明不了什么问题。

事实上,这个定理之所以「基本」,是因为它揭示了微分的本质——局部线性近似


微积分,或者说数学分析,研究的是函数在局域内的性质。存在一类函数,它们有这样的性质:能找到一个足够小的邻域半径,该函数在此邻域具有某个一阶线性函数所具有的一切性质。这类函数就是可微函数,上述线性函数的斜率是它的导数

函数的微分性质都在邻域内成立,只要邻域的半径足够小,原函数与其线性近似的差异可以忽略不计(注:如果考虑实数连续统假设,可以认为是没有差异)——这便是微分的本质。唯有理解了这点,分析才成为一个能灵活运用的方法,而不是几页纸都写不下的导数公式,或是一连串积分形式变换的枯燥程序。


考虑可微二元函数 $f(x,y)$ 的全微分 $\mathrm{d}z$ 的表达式:

\mathrm{d}z
= \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{d}x
+ \frac{\partial f}{\partial y} \mathrm{d}y

我们已经知道 $\mathrm{d}z$ 有 $A\cdot\mathrm{d}x + B\cdot\mathrm{d}y$ 的形式,但为什么会有 $A=\frac{\partial f}{\partial x}, B=\frac{\partial f}{\partial y}$ 呢?当然,这可以用导数的定义来证明,但抽象的符号表达无法让人直观地感受到「为什么」。

如果理解了微分基本定理,上述等式就是显然的了。可微二元函数的图像是光滑曲面,如果把邻域取得足够小,曲面就近似成为平面,准确地说,是该点的切平面。

若要求从坐标平面上一点 $P:(x_1,y_1)$ 到另一点 $Q:(x_2,y_2)$ 在某平面 $F$ 上竖直投影的「高度」之差,我们会怎么计算呢?可以额外取一点 $S:(x_1,y_2)$,先计算 $P$ 到 $S$ 的高度差,再计算 $S$ 到 $Q$ 的高度差,把它们加起来就是 $P$ 到 $Q$ 的高度差。当然你也可以取 $S':(x_2,y_1)$,结果是一样的,因为坐标平面上的矩形 $PQRS$ 投影到平面 $F$ 上形成的是平行四边形。

如果这个平面是曲面的切平面,那么在邻域足够小时,切平面上的「高度差」就是我们想求的 $\mathrm{d}z$,系数 $A,B$ 即分别是沿着 $x, y$ 方向的直线在切平面上投影的斜率。而这两个斜率无疑便是上述的两个偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$。

对更多变量的微积分而言,受限于想象三维以上空间的难度,很难借助几何来直观地想象,但其原理是相同的。若学习微分几何,建立了切空间的概念后,便可以类比上去理解。


上面还提到微分基本定理在形式上与泰勒展开式的第一项相同,那么它们之间是否会有本质的联系呢?很显然是的,因为泰勒级数也是在对函数作线性近似,区别在于微分法是一次线性近似,而泰勒展开是高次线性近似。因此,微分只能在足够小的邻域内近似,而泰勒级数取了高次后,收敛域就大得多了。

某种意义上说,泰勒展开是微分法的推广。但要注意的是,不能说微分基本定理是泰勒级数的特殊情况,因为泰勒级数本身是用微分法推导而得,若用泰勒级数来演绎推理得到微分基本定理,就犯了循环论证的错误。

如何看待东方这样的免费但不允许盈利的 IP

Balthild @

原文为对知乎同名问题的回答

这个问题本质上,和东方、和 ZUN 都无关。这是关乎「自由文化」与「私有文化」两种「文化所有制」之冲突的问题。


首先要定义一个概念:四项基本自由。它们是:使用、复制、修改、再分发。严谨的定义请看什么是自由软件? - GNU工程 - 自由软件基金会

一项文化产品的授权协议,只要四项基本自由中的任意一项没有被依照相应准则授予用户,即不属于自由文化协议(参考 CC 给出的定义 Understanding Free Cultural Works - Creative Commons)。东方这个东西嘛,它四项都没有完全授予(禁止商业使用),显然它不是自由文化协议。

相应地,像 GFDL、CC BY、CC BY-SA、CC0 等协议,则属于自由文化协议(注意,CC BY-ND 和 CC BY-NC-SA 就不是自由的)。

而提问者提到的开源软件,严格来说它不属于艺术、文学这种「文化作品」。不过为了探讨问题,我们把它们放在一起,作为广义上抽象的文化作品来研究。同时,我假设提问者指的是采用 GPL、Apache、BSD、MIT 等主流开源许可证的开源软件。

显然,这些许可证保证了用户的四项基本自由,因此它们是自由软件许可证和自由文化协议(同上文所述,严格来说软件不属于文化产品,因此这些协议不能称作文化协议)。

相对应地,微软搞过一种许可证,它允许用户查看某个版本 Windows 的源代码,但禁止使用、修改和再分发。这种许可证也属于「开源许可证」,但不属于自由软件许可证。我们通常戏称其为「看源许可证」。

根本的问题,也就是如何看待的问题,关键在哪里呢?在于文化产品所有制。自由文化的支持者认为,知识和文化应当于全社会所共有,不得为一人一家所占据。而私有文化的支持者,其主张大概不必我多言。

概括到这个层次,你们应该已经可以看出来了,这其实就是「生产资料所有制」的一个体现。再往下讲,差不多就是重复《资本论》里的话了,有兴趣的人可以自行去查阅。


我为什么采用「文化所有制」的说法而不用「知识产权」呢,因为「知识产权」被定义成了一个伪概念(或者说,筐子词,即什么都能往里装的词)。著作权、专利权、商标权三种东西本来风马牛不相及,把它们统一为所谓的「知识产权」其实是一种混淆视听的做法。详细论述请参阅您说过“知识产权”吗?这是一种迷惑性的幻景 - 自由软件,自由社会(第三版)


那么,到底怎么看待呢?其实根本不需要怎么看待。

东方和目前世界上绝大多数艺术作品一样,是非自由文化产品。它和在优酷看到的那些免费但不允许用于盈利的视频在所有制上没什么不同,只是前者粉丝多一些罢了。不必苛责,因为在保守的大环境下,它的保守不是错误,只是平庸。

我国目前著作权的期限是 50 年,也就是说 2046 年之后,东方在中国就进入公有领域、可以自由地使用与演绎了。但是,很难保证中国不会受到版权大鳄的影响,像美国一样延长版权期限。

生于私有制的世界,是为人最大的不幸。如果你厌恶这一切,请尽力支持自由文化运动与自由软件运动。

布鲁诺是因为支持日心说捍卫科学而死的吗?

Balthild @

原文为对知乎同名问题的回答

应当辩证地看待布鲁诺。

一方面,如已经存在的不少回答所说,布鲁诺不单纯地是因为反对地心说而被烧死的,布鲁诺本身科学素养也不高等。但是,布鲁诺对科学的发展就毫无贡献吗?显然不是。


布鲁诺虽不是天文学家或物理学家,但他是一个哲学家。1584 年,布鲁诺出版了《论原因、本原和太一》和《论无限、宇宙和诸世界》,借助哥白尼的日心说、通过哲学思辨得到了宇宙是统一的、物质的、无限的概念,阐述宇宙没有中心、无限大,不仅在空间上无边无界,而且在时间上也无穷无极,宇宙中可供生物生存的星球有很多。虽然这些理论在科学上毫无依据,但是这种世界观在哲学上给出了后世牛顿力学之绝对时空观的雏形。

其次,布鲁诺本身也是信神的,它借助无限宇宙论宣传自己的太阳神信仰——这也是他被烧死的主要原因。实际上,布鲁诺所宣传的信仰,属于后世被许多科学家所信仰的泛神论。泛神论与其说是一种宗教,不如说是一种哲学,因为其神已不是人格化的。相对于一神论,泛神论是一种进步的思想。要从一神论发展到非信神论,泛神论与无神论是必经的道路

因此,布鲁诺不是为了捍卫科学而死,但布鲁诺的确是因推动了人类的进步而死


然而,布鲁诺对人类发展的贡献远不仅如此。

很多答案提到教会曾经是日心说研究的资助者、教会是因为布鲁诺宣传异教才对日心说转变态度、伽利略取名不慎惹怒教宗等等史实。这些说法其实或有意、或无意地忽略了一点:科学与宗教发生冲突是迟早的事情

在科学的滥觞时期,早至物理学还没有从自然哲学中分离出来的时候,由于科学自身的理论空缺也很大,因此尚有阿奎那 (Saint Thomas Aquinas) 能调和宗教与科学的关系。随着一代又一代人给科学添砖加瓦,科学的理论将会趋于完善;但宗教的神学却在逻辑上有着根本性的、不可修补的缺陷。

1323 年,去世近半个世纪的托马斯·阿奎那被教宗若望二十二世 (Pope John XXII,1244-1334) 册封为圣徒。他背后的亚里士多德,这位吕克昂的异教徒终于被天主教吸纳为「先知」,他那辉煌如金字塔的体系连同整个古典文明都将被打造为《圣经》的注脚。

在信仰和理性之间寻求安宁的圣徒不会想到,亚里士多德的复临,只是梦魇的开始——圣人的石像在岁月中风化,智者的面庞在阴影中愈发模糊不清……

——李轻舟《德尔斐的囚徒》

其他回答也提到了,教会一开始迫害的不是宣传科学的人,而是会威胁自身权力的人。而科学与宗教的本质决定了,未来必定会有一天,科学的体系中无法再容下基督宗教的人格神

我不需要那个假设!

——拉普拉斯

在那种情况下,科学的存在本身就将会威胁教会,因此,长远地看,科学与宗教是不可能永远和平共处的。

而布鲁诺的贡献在于,他使教会迫不及待地展露了自己的丑恶面目,使世人更早地看清了教会,乃至整个基督宗教,在后世可能会对科学作出的迫害。

如果没有布鲁诺,可能会有两种未来——

第一种:教会的权威成为科研的红线,所有科学家都要战战兢兢地做研究。如果一种理论与神学有根本冲突,那么不管它有多大的意义,也要毁掉它,于是人类将永远不可能发展。

但是人类求知的天性并非如此容易抹去,结局更有可能是第二种:科学在早期教会的资助下趋于完善,同时它与神学的矛盾愈发明显。最终科学的发展推动技术的发展,引发了工业革命,垂死的教会发出了它最后的挣扎——以烧死布鲁诺的方式烧死了那些希望能苟且偷生的科学家们。这是一个令人后怕的假设,我甚至庆幸被烧死的布鲁诺只是被某些知乎回答极尽鞭笞的「神棍」,而不是真正的物理学家!

你们可以只用一瞬间砍下他(拉瓦锡)的头颅。但是,法兰西要再长出一颗这么聪明的脑袋,即使一百年都不够!

——拉格朗日

拉瓦锡式的悲剧,发生一次就足以警示世人了!

布鲁诺以死亡为代价,让教会提早为自己掘好了墓地。科学从宗教势力中脱离的大势已不可抵挡,伽利略的屈服也只不过让教会多苟延残喘了一段时间,但他们将再也无力破坏开普勒、牛顿为宇宙构筑的伟大图景了。


说一些后续吧。

1889 年,罗马宗教法庭为布鲁诺平反,并恢复了其名誉。同年 6 月 9 日,布鲁诺的铜像被竖立在他当年殉难的罗马鲜花广场上。

罗马鲜花广场上有许多书摊。一位名叫恩里科·费米的小孩曾在这里度过青少年时光,并在这里买到了人生第一本物理学读物《数学物理要旨》。多年后,他获得了诺贝尔奖,成为了世界原子物理学的领袖级人物,并远赴美国参与了原子弹的设计与建造。现今世界上最大的粒子加速器之一——费米实验室,以及第 100 号元素镄,是以他的名字命名的。费米出生后由于祖父母是天主教徒而受洗,但他本人是无宗教信仰的不可知论者。

1983 年,访问罗马大学物理系与梵蒂冈天文台的中国科学家一行在几位神职人员的带领下参观了圣多明戈教堂——阿奎那半生讲授神学、用古典希腊的理性「论证上帝存在」的圣地。然而,神职人员们收获的只有一片茫然与沉默。一位当事人回忆起这段尴尬经历时,感叹道:「托马斯·阿奎那这个名字实在是太陌生了!」在一代又一代的「布鲁诺」式的勇士的不懈努力下,这位曾经的神学大家已经被扫进了历史的垃圾堆。而同样的命运,也正虎视眈眈地等待着一切宗教。